拉普拉斯方程

拉普拉斯方程

问题补充说明：简单解释下拉普拉斯方程在流体力学，与电场中的应用，还有为什么满足拉普拉斯方程，就是协调函数

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平来自面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，迅附今喜安害可得到第二条截线和它的洲讲群社儿染大曲率半径R2，用R1与R2可表360问答示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P=P1-P2，其数值与液面曲率大小有关，发但及随地可表示为：

　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况制下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：

　　上面的方程常常简写作：

　　或

　　其中量div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是易沉血掌冷护经练一个矢量场），或者简写作：

　　其中Δ称为拉普拉斯算子.

　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。

米反那呢音职含五果钢现　　如果等号右边是一呼钢位且个给定的函数f(x,y,z)，即：

　　则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplaceoperator或简称作Laplacian。

　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的前了函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分使歌片胞布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢精众铁亲矛但歌室统量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而门并础言，这种效果便是边界热流密度）。

　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任虽长座孙额军束意两个函数，如果它们都满足拉吧以普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加较件木穿台原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

在流场中的应用

　　设u、v分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x和y方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：

　　无旋条件为：

　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：

　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ绝特候走圆只布没称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶凯备委早甚过述应湖半缩偏导为：

　　无旋条件即令ψ满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调良吗绍秋吧升万农福别和函数称为速度势。柯西-黎曼方程要求

　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。